تعریف

اگر (x0 , y0) نقطه ای از دامنه یک تابع مثل z=f(x,y) باشد، محل تقاطع صفحه y=y0 با رویه z=f(x,y) خم z=f(x0,y0) است. این خم نمودار تابع z=f(x,y0) در صفحه y=y0 است. در این صفحه مختص قائم z است و آن فاصله نقطه واقع در بالای (پایین) صفحه xy از این صفحه است. مختص افقی x است. مشتق z=f(x, y0) نسبت به x در x=x0 طبق معمول تعریف می شود 

به شرطی که این حد موجود باشد. این حد را مشتق جزئی f نسبت به x در نقطه (x0,y0) می نامیم. شیب خم ذکر شده در صفحه y=y0 در نقطه (x0,y0,f(x0,y0)) مقدار این مشتق جزئی نسبت به x در (x0,y0) است. مماس بر خم در x=x0 خطی واقع در صفحه y=y0 است که از نقطه (x0,y0,f(x0,y0)) می گذرد و شیب آن این مقدار است. 

نمادهای معمول مشتق جزئی z=f(x,y) نسبت به x در (x0,y0):

یا که مشتق جزئی f نسبت به x در (x0,y0) یا f اندیس x در (x0,y0) است. این نماد برای تاکید بر نقطه (x0,y0) مناسب است.
: مشتق جزئی z نسبت به x در نقطه (x0,y0) است. این نماد در علوم مهندسی به کار می رود که با متغیرها سروکار داشته باشیم و تابع به طور صریح ذکر نشود.
یا : مشتق جزئی f (یا z) نسبت به x است. این نماد وقتی مناسب است که مشتق جزئی ، خود به عنوان یک تابع در نظر گرفته شود.
تعریف مشتقات جزئی توابع با بیش از دو متغیر مستقل ، شبیه تعریف مربوط به توابع دومتغیره است. این مشتقات همان مشتق های معمولی نسبت به یک متغیرند با این شرط که سایر متغیرهای مستقل ، ثابت درنظر گرفته شوند.

مشتقات جزئی با متغیرها ی مقید:

هنگام محاسبه مشتقات جزئی توابعی نظیر w=f(x,y) تاکنون فرض کردیم که y,x مستقل اند. ام در بسیاری از موارد کاربردی این وضع برقرار نیست. مثلا انرژی درونی (U) یک گاز را می توان برحسب فشار ، P ، حجم ، V ، و دما ، T ، بیان کرد.
U=f(P,V,T)
اما اگر این گاز ایده آل باشد از اطلاعات فیزیکی خود می دانیم که در این صورت T , V , P از قانون گازهای ایده آل یعنی PV=nRT (R,n ثابت)
تبعیت می کنند و لذا مستقل نیستند. محاسبه مشتقات جزئی در این گونه موارد ممکن است پیچیده باشد. این گونه موارد در اقتصاد ، مهندسی یا فیزیکی بوفور یافت می شود.
اگر متغیرهای z,y,x تابعی چون w=f(x,y,z) با رابطه ای مانند معادله z=x2+y2 مقید شوند . تعبیر هندسی و مقادیر عددی مشتقات جزئی f بستگی به این خواهند داشت که چه متغیرهایی را وابسته و چه متغیرهایی را مستقل انتخاب کنیم. این انتخاب اثر فوق العاده ای بر نتیجه می گذارد. این تاثیر نه تنها در مقدار عددی مشتق جزئی نمودار می شود بلکه شکل هندسی تابع نیز از این انتخاب متاثر می گردد. 

بررسی مشتق از نظر هندسی

از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود: 

 و واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است: 

ارتباط مشتق با علم فیزیک

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند. 

تجزیه و تحلیل نمودارها

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

معادلات لاپلاس

در معادله لاپلاس سه بعدی توزیع های دمای حالت پایا که در آن T تابعی است از f برحسب دو متغیر z,y,x . در فضا ، پتانسیل های گرانشی و پتانسیل های الکترواستاتیکی صدق می کند و عبارت است از اینکه مجموع مشتقات مرتبه دوم f نسبت به هر یک از متغیرهای z,y,x برابر صفر است. معادله لاپلاس در فضای دو بعدی نیز برقرار می باشد.
معادله موج: اگر در ساحل اقیانوسی بایستیم و در لحظه ای از زمان از امواج عکس بگیریم آنگاه در عکس الگوهای منظمی از برآمدگی ها و فرورفتگی ها نمایان خواهد بود. در فضا حرکت قائم متناوب نسبت به فاصله را می بینیم. اگر روی آب باشیم با عبور امواج می توانیم بالا و پایین رفتن آب را حس کنیم. در فیزیک ، این تقارن زیبا را با معادله یک بعدی موج یعنی

بیان می کنند که در آن w ارتفاع موج ، x متغیر فاصله ، t متغیر زمان و C سرعت انتشار موج است. 

فرمول های مشتق

تابع	مشتق	شرایط
	or	,

شرایط مشتق‌پذیری

برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند x مشتق‌پذیر باشد، باید در یک همسایگی آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد. البته این شرط لازم برای مشتق پذیری تابع در یک نقطه است.برای مثال در حالت های زیر تابع در نقطه a پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست 1نقطه بازگشتی مشتق بینهایت میشود 2نقطه زاویه دار مشتق چپ و راست برابر نیست

پیدا کردن شیب خط

پیدا کردن خطی که دریک نقطه بر یک منحنی مماس یا عمود است. برای معادله خط (y=f(x ، شیب خط قاطع برابر است با: m ، m=tanθ را شیب یا ضریب زاویه‌ای می‌گویند. خطی که بر مماس بر منحنی عمود باشد، خط قائم بر منحنی می‌نامیم. بنابراین اگر m≠0 شیب خط مماس و m شیب خط قائم بر منحنی باشد، آنگاه داریم: m.m= -1 از مشتق می‌توان در ساختن جامدادی ، وسایل نظامی ، در ساختن قطب نما و غیره استفاده کرد یعنی می‌توان با استفاده از مشتق شیب مثلا جامدادی را محاسبه کنیم. مثلا در ساختن دیدبانی می‌توان از ضریب زاویه‌ای استفاده کرد. در صورتی که شیب در نقطه n مساوی صفر باشد آنگاه مماس بر منحنی در این نقطه، خطی افقی یا موازی محور x است. بنابراین خط قائم بر منحنی در این نقطه، خطی عمودی یا موازی محور y خواهد بد و داریم: ∞ = (m(a

محاسبه تغیرات یک کمیت نسبت به دیگری

با استفاده از مشتق می‌توان مقدار تغییرات یک کمیت را نسبت به کمیت معین دیگری، وقتی این دو کمیت به وسیله تابعی به هم مربوط هستند، به دست آورد. مثلا اگر (g(r مساحت دایره‌ای به شعاع r باشد، داریم: g(r) = π r2 آنگاه مقدار لحظه‌ای تغییر مساخت دایره نسبت به شعاع آن برابر است با g(r) = 2πr مقدار لحظه‌ای تغییر مساحت این دایره، وقتی شعاع آن برابر مقداری مثل r=1 باشد، برابر است با: g(1) = 2π

پیدا کردن شتاب

اگر (S(t معادله حرکت جسم متحرک باشد آنگاه V را متوسط سرعت در یک فاصله زمانی می‌گویند. اگر از سرعت متوسط مشتق بگیریم مقدار شتاب حرکت بدست می‌آید. که شتاب را با (a(t نشان می‌دهند یعنی شتاب در لحظه t می‌باشد. (a(t)=V(t)=S"(t